Mathématiques : “Des automatismes ou procédures mal ou non appris et/ou insuffisamment retravaillés“ (DEPP, Cedre 2019)
Paru dans Scolaire le lundi 12 décembre 2022.
“Des automatismes ou procédures mal ou non appris et/ou insuffisamment retravaillés par la suite ne sont pas ancrés et constituent un frein aux performances des élèves en calcul réfléchi“, indiquent les chercheurs de la DEPP dans leur analyse des résultats de l'évaluation des compétences Cedre passée par les élèves de troisième en 2019.
Ceux-ci étaient soumis à 60 questions de calcul mental (environ 50 % de calcul automatisé et le reste de calcul réfléchi), avec 10 items à résoudre en début de séquence, un délai de 30 secondes pour trouver la réponse, la nécessité d’écrire sur ordinateur pour la donner, sans utilisation de calculatrice mais avec possibilité d’utiliser un brouillon personnel. Et si ces items “auraient pu très majoritairement être proposés à des élèves de fin de cycle 3, constate le service statistique de l'Education nationale, cela ne garantit en rien la réussite“ au regard des résultats présentés.
Il y a par exemple l'utilisation de la bibliothèque des faits numériques qui permet de servir de “brique“ dans des calculs plus complexes faisant appel aussi aux propriétés des nombres et des opérations, et qui, maîtrisés, “favorisent par ailleurs la réussite en soulageant la mémoire de travail“. Pour le premier item, 100 ÷ 25 = 4, “presque 40 % des élèves ne sont pas capables de mobiliser le fait numérique dans cette situation et doivent avoir recours à du calcul“. De même, l'item 25 x 400 est “peu réussi“, c'est à dire par moins de la moitié des élèves (47,6 %) tandis que 16,1 % d'entre eux n'ont pas répondu.
Viennent ensuite les procédures automatisées, par exemple “multiplier un nombre décimal par 10, par 100, par 1 000“. Dès le cycle 3, le programme demande d’ “utiliser ces propriétés et procédures pour élaborer et mettre en œuvre des stratégies de calcul‘, c’est-à-dire de les mobiliser dans le cadre de calculs réfléchis.
Pour la question 26 x 1000, le taux de réussite est de 93, 6 %. Mais pour les questions suivantes, 4,6 x 100 et 0,2 x 100, le taux de réussite baisse fortement (65,2 % et 55,9 %). Les erreurs majoritairement commises montrent que la règle “pour multiplier un nombre entier par 10, par 100 ou par 1 000, on écrit des 0 à droite du nombre entier“ est automatisée par 16 % des élèves “sans qu’ils soient conscients du cadre de sa validité et/ou sans qu’ils fassent de lien avec la numération“.
Ainsi les “astuces“ comme les ajouts de 0 ou le décalage de virgule, qui sont “présentées sous forme de règles et bien souvent données en classe pour les entiers comme pour les décimaux, mettent les élèves facilement en réussite sur le court terme et peuvent ainsi donner à l’enseignant, une impression fausse de compréhension de ce qui s’y joue“. La DEPP explique en outre que “dans un sentiment d’urgence en collège, l’astuce de décalage de virgule prime sur le retour au sens“, celui-ci n'étant “pas systématiquement assuré“ chez les élèves de 6e, et “cela peut se transformer en un amalgame de règles, à plus forte raison si ce type de calculs n’a pas été pratiqué récemment“.
Autre exemple, l'item sur les nombres relatifs (-5) x (-2), réussi par 66,9 % des élèves révèle des “confusions entre techniques d’addition et de multiplication des relatifs“, avec une typologie d'échec qui “semble typique des élèves en difficulté dans tous les domaines mathématiques“.
Concernant les puissances, qui “montrent des résultats assez satisfaisants pour des items testant des connaissances en cours d’appropriation“, les erreurs correspondent toujours à des manipulations incorrectes sur les exposants 2 et 5, sans prise en compte d’ordre de grandeur. Il est alors “possible que les élèves s’accrochent à des formules mal maîtrisées et déconnectées du sens, en dépit des préconisations du programme 2018 (consolidé en 2020) et des repères de progressivité (2018) qui disent explicitement : ‘La connaissance des formules générales sur les produits ou quotients de puissances de 10 n’est pas un attendu du programme : la mise en œuvre des calculs sur les puissances découle de leur définition‘.“
Le calcul réfléchi est lui “essentiel pour accompagner l’entrée dans le calcul algébrique“, mais déjà la première question (235-136) n'est réussie que par 49,4 % des élèves, et 20 % n'y répondent pas, car selon la DEPP “poser cette soustraction mentalement est assez laborieux (..) pour les élèves qui n’ont pas de stratégies de calcul mental disponibles dans ce cadre“.
L'interrogation 15,4 - 2,4 - 6,7 - 1,3 n'a elle connu que 18,2 % de réussite avec 48,2 % de non-réponse, et le service statistique de l'EN de noter que “le niveau de difficulté de cet item a manifestement découragé les élèves“, et si l'étude des résultats “ne permet pas de dégager des erreurs typiques“, “il semble toutefois qu’on repère des amorces de calcul commençant par la partie entière et échouant sur la partie décimale“, 2,3 % des élèves répondant 6.
Il y a ensuite d’autres items, qui ne font pas appel aux habiletés sur les nombres mais aux décompositions d’un des nombres et aux propriétés des opérations, “dont le taux de réussite est très bas“. Par exemple l'item 11 x 23 “est très majoritairement traité (à plus de 85 %), mais il n’y a qu’environ 35 % d’élèves qui répondent correctement“. Les erreurs “significatives“ comme 233, 230, 23 et 241 (3,9 %) “semblent indiquer uniquement une utilisation de la distributivité à partir de la décomposition du 11 en 10 + 1 mais qui n’a pas été menée correctement à son terme“.
A la question 306 x 11, un quart des élèves n’a pas répondu, d'où l’hypothèse que cela est lié à la différence de taille de nombre entre 306 et 23 “qui semble gérable uniquement pour les élèves les plus performants“ tandis que “pour les autres, on note souvent un non-engagement ou un abandon en cours de calcul“.
Dans les “différentes interprétations d’une expression“, une autre compétence mise en avant par la DEPP, on trouvera notamment que “le signe ‘-‘ semble perçu uniquement comme le symbole de la soustraction tel qu’il est enseigné dès le CP, donc un signe opératoire“ et que cette expression “n’est pas interprétée par les élèves comme une somme de relatifs“, par exemple 15,4 - 2,4 - 6,7 – 1,3 = 15,4 - (2,4 + 6,7 + 1,3).
Pour 130 : 5, question avec un taux de réussite de 23,6 % et de non-réponse équivalent à 38,9 %, ils se demandent “serait-ce dû au fait que l’opération en jeu est une division ?“ Les chercheurs estiment que “ce calcul repose sur la connaissance de la distributivité étendue à la division, ce qui est licite puisque ‘diviser, c’est multiplier par l’inverse‘, mais manifestement cette procédure est essentiellement inconnue des élèves. Une autre procédure peut être mobilisée si elle est connue : diviser par 5, c’est diviser par 10 puis multiplier par 2. Enfin, il semble que la technique de calcul posée ne soit que rarement un recours possible, en tous cas dans le temps limité de 30 secondes. Ce calcul de cycle 3 semble donc laisser les élèves démunis, sans notamment le réflexe de revenir au sens de la division comme situation de partage“.
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